under a fake name
意思是：使用假名字 / 冒用一个假名 / 以化名

这里的 under 不是“在……下面”，而是表示以某种名字或身份。

例子

He was living under a fake name.
他用一个假名字生活。

She checked into the hotel under a fake name.
她用假名字登记入住酒店。

He wrote the book under a fake name.
他用化名写了这本书。

重点记住这个结构

under + name

= 以某个名字

比如：

under his real name
用他的真实姓名

under a different name
用另一个名字

under a fake name
用假名字 / 化名

所以你看到 under a fake name，直接整体理解成：

“用假名、以化名身份”。